mercoledì 21 settembre 2016

Inizio ad insegnare matematica in classe terza, come impostare il mio lavoro? "Pensare in matematica" risponde

Una maestra ci chiede ...

Finalmente a tempo indeterminato e fortunatamente nell’ambito logico matematico, mi sto smarrendo nella marea di guide per la didattica della matematica.
Sarei molto felice se mi potesse indicare alcune guide e strumenti didattico-pedagogici che ritieni possano essermi utili (nello specifico una 3a)

1. Cosa insegnare
La classe terza segna un “punto di inflessione”: sulla base dell'incontro con la matematica in prima e seconda, si tratta di inoltrarsi con la classe alla scoperta di nuove idee (perché vi sono altri numeri oltre quelli per contare, quali sono le sorprendenti proprietà delle figure), problemi più adatti alla loro età e interessi, aspetti della matematica nel nostro mondo di cui possono essere ora più consapevoli.
Questo “svelarsi” del paesaggio della matematica elementare è descritto nel capitolo 4 di Numeri e forme. Didattica della matematica con i bambini (Zanichelli), considerando sia la geometria, sia la aritmetica.
Teniamo sempre presente che la scuola primaria intesa come scuola per istruire contabili – che sanno eseguire operazioni e trovano l'operazione che serve ad ogni problemino – è destinata al fallimento; l'insegnante ha bisogno di vedere la rete dei concetti della matematica da una prospettiva più alta (che è anche più interessante e divertente) per incoraggiare e guidare i bambini.

2. Come insegnare
L'insegnamento della matematica richiede un'accurata programmazione e preparazione: i bambini apprendono se le attività sono varie e permettono di considerare ogni oggetto sotto diversi punti di vista. Ad esempio, le frazioni servono per indicare rapporti, come 1/2 che indica la metà; ma nel contempo 0,5 è un altro modo di scrivere 1/2 che si usa per indicare misure nel sistema metrico decimale. Il concetto di metà ci permette di capire meglio cosa collega l'angolo retto a quello piatto e a quello giro, e perché questi angoli hanno un loro speciale nome.
L'insegnamento efficace è dinamico, e ciò significa che combina – nella sessione di un giorno, o nell'arco della settimana o del mese – molti metodi e strategie: attività orali e scritte, attività individuali e di gruppo, attività in piedi o in movimento e seduti al banco, dialoghi di classe, consegne ma anche molti problemi, materiali fisici, immagini, video o musica, ma anche il quaderno (per rappresentare, per esercitarsi, per riepilogare).
Un ritmo calibrato, stimolante ma sereno, richiede momenti di sorpresa e concentrazione spinta (un buon problema per motivare un argomento sul quale torniamo ora che siamo più grandi per saperne di più); momenti di collaborazione con gli altri in un piccolo gruppo; ripasso tranquillo con esercizi individuali (un po' di divisioni in colonna); qualche piccolo gioco o enigma; momenti di verifica per essere sicuri che nessuno ha difficoltà con qualche argomento.
Una presentazione di insieme su come lavorare, con esempi di attività e con una descrizione dei passaggi importanti nell'apprendimento del calcolo e della geometria si può trovare nel capitolo 8 di Numeri e forme. Due esempi molto dettagliati per illustrare come svolgere i problemi per apprendere matematica, dal punto di vista dei bambini, si trovano nel capitolo 1 di Numeri e forme.

3. Esempi e idee per scegliere e realizzare attività didattiche
Per comprendere il punto di vista dei ragazzi in classe terza e quale registro usare nel parlare di matematica vi sono tre libri di Anna Cerasoli, pubblicati tutti da Feltrinelli Kids: Sono il numero 1 (sui numeri naturali); Io conto (sulle frazioni) e Tutti in cerchio (sulla geometria).
Questi tre libri sono una miniera di attività, coerenti con la visione presentata nel capitolo 4 di Numeri e forme che abbiamo menzionato parlando di “cosa insegnare”.
Oltre agli esempi e materiali suggeriti nel capitolo 8 di Numeri e forme, molti esempi di attività realizzate effettivamente in classe terza, con foto e spiegazioni, si trovano nel sito di Matematica per la formazione primaria, qui, e inoltre potete consultare anche le attività presentate per la classe seconda e quelle per la classe quarta.

4. Partire dall'esplorazione di ciò che sanno, valorizzandolo
Se si arriva come nuova insegnante in una classe terza, nei primi giorni e settimane è cruciale osservare, o meglio esplorare, ciò che i bambini sanno, la loro familiarità con numeri e forme, che sarà frutto sia di quanto hanno ascoltato e fatto a scuola dalla scuola dell'infanzia (alcuni) e in prima e seconda, e anche frutto delle loro esperienze vissute. Entrambi questi aspetti potrebbero non essere amalgamati: da una parte, alcune nozioni o tecniche scolastiche (come i riporti nei calcoli in colonna, le tabelline, almeno alcune, e le discriminazioni fra figure); dall'altra, concezioni ingenue, ossia elaborate dai singoli bambini anche indipendentemente da ciò che ha vissuto nelle ore di matematica, a partire da immagini, oggetti, dialoghi con gli adulti o con altri ragazzi, in casa, nei giochi, facendo sport, nelle vacanze, usando Internet o i videogiochi, o vedendo video e televisione, e ovviamente anche a scuola nelle ore non di matematica, nella mensa, durante la ricreazione.
Per scoprire il rapporto di ogni alunno con la matematica serve osservare nell'azione: quindi proporre attività ed esercizi, fare domande e sollevare discussioni, con lo stile descritto quando abbiamo parlato di “come insegnare”. I bambini reagiscono al meglio, sfoggiando tutta la loro capacità, se ciò che si chiede loro di fare gli interessa: perché è divertente, perché colpisce la loro immaginazione, perché li emoziona (ad esempio se c'è di mezzo il computer o gli schermi), perché serve a mostrare che sono in grado di fare da soli... Se ciò manca potrebbe sembrare che non sanno o non sono interessati... A poco servono infatti le cosiddette “prove di ingresso” tanto ingessate, ma se la scuola le fa, integriamole con altre osservazioni.
Questo aspetto di esplorazione è tanto più importante in terza. Il bagaglio dei bambini, almeno di alcuni, potrebbe essere più largo di quello derivato dalle ore di matematica in classe: potrebbero avere dimestichezza con numeri a molte cifre, oppure avere un'intuizione geometrica spiccata, ad esempio sulle distanze, sugli angoli, sui solidi, mentre a scuola hanno solo fatto esercizi del tutto senza senso di discriminazione di quattro figure (cerchio, triangolo, quadrato, rettangolo). Prendiamo delle note per tenere traccia e pensare a come lavorare con la classe.

5. Se vi sono difficoltà
In terza potremmo trovare una classe dove i bambini stanno in silenzio nell'ora di matematica, alcuni dicono che non sono bravi in matematica, altri sono disinteressati e non hanno voglia di impegnarsi, altri ancora hanno vera e propria paura. I genitori potrebbero essere preoccupati. Molta ansia si concentra sul sapere a memoria le tabelline e sulla divisione in colonna.
Dedichiamo tempo a colmare le lacune e a cambiare lo sguardo dei bambini sulla matematica, dando a questa materia una nuova opportunità, come in un nuovo incontro con qualcuno con cui si aveva litigato e in cui si scopre qualcosa di diverso. Attenzione: non si tratta di rallentare, ma al contrario di prendere la rincorsa!
A questo riguardo ci orienterà per capire cosa non va e ci suggerirà molte attività la lettura del capitolo 7 di Numeri e forme, dedicato alle classi prima e seconda (Lettere, numeri e figure nelle prime classi della scuola primaria).
Vi sono aspetti molto concreti da verificare:
– come si trovano i bambini con il contare? Conoscono la legge di formazione dei vocaboli? Ottanta nove, novanta, novant'uno, centro trent'uno, cento trentadue, .... mille duecento quarantasette, mille duecento quarant'otto, mille duecento quaranta nove, mille duecento cinquanta... Fino a che punto sanno trovare a voce, in parole, il numero precedente e il successivo? Sanno contare oggetti? Collegano il contare con le addizioni, in casi in cui è comodo comunque?
– quale dimestichezza hanno con il calcolo mentale?
– quanto sanno decomporre i numeri in più modi, e quindi quanto hanno una visione dinamica del numero? Vedono la scrittura di un numero in cifre in quanto decomposizione in unità, decine, centinaia, migliaia ecc
– conoscono le tabelline dell'addizione a memoria e le usano agevolmente in addizioni in colonna o nel calcolo mentale?
– la sottrazione è uno dei primi scogli che intralciano la maturazione dei bambini in matematica: eseguono a mente delle sottrazioni semplici? collegano l'addizione con la sottrazione?
– collegano le procedure dell'addizione e della sottrazione in colonna, inclusi i riporti, alla decomposizione dei numeri?
– hanno assimilato un modo rigido di risolvere problemi di matematica, oppure hanno avuto opportunità di risolvere problemi in modo elastico, e di usare il foglio per pensare e rappresentare, con simboli e figure geometriche, la situazione illustrata? Riescono a scrivere la o le soluzioni con una frase chiara in italiano, e a verificare se si tratta di una soluzione?
Quanto prima, piccoli problemi ci aiuteranno a capire se e quanto hanno familiarità con la moltiplicazione e con la divisione. Per la moltiplicazione, un problema di calcolo di area di rettangoli usando i quadretti, ad esempio; per la divisione, un problema di suddivisione o ripartizione.
Saranno loro sicuramente a dirci se sanno le tabelline...
La geometria non è quasi considerata a scuola, tanto meno in prima e seconda, quindi l'intuizione geometrica sarà del tutto diversa in ogni bambino: chi fa molto sport avrà idee di punto, retta, curva, angolo, legate all'esperienza corporea, alle indicazioni degli istruttori. Osserviamo anche i quaderni, le linee che tracciano a mano libera, le righe di scrittura (distanze tra righe, tra parole, forma delle lettere), come allineano le cifre e le distanze fra righe con numeri, come piegano la carta.
Potrebbe sembrare che perdiamo tempo e non progrediamo verso altri nuovi argomenti, eppure ricordiamo che rinforzare le basi è essenziale per andare avanti dalla classe terza, e che comunque ripensare gli argomenti di matematica man mano che si cresce rinsalda il rapporto con i concetti astratti della disciplina.
Oltre a questi aspetti specifici, per vedere la matematica con occhi nuovi e positivi, funzionano sempre sia la storia della matematica, sia gli esempi della presenza della matematica nel mondo di oggi: anche per questo rinviamo ai capitoli 7 e 8 di Numeri e forme.

E per finire: Scrivere i documenti di programmazione e valutare
L'avventura dei bambini nella matematica è fatta di cose molto concrete, che ho cercato di ricordare per la classe terza, all'interno di un paesaggio molto vasto, al quale mi riferivo nel primo punto (cosa insegnare). È difficile far rientrare questa concretezza e questa ampiezza di orizzonti nel freddo linguaggio di obiettivi e di valutazione del raggiungimento degli obiettivi. Forse una azienda si può porre degli obiettivi di produttività, in termini di tempi di movimentazione delle materie prime o di chiusura delle ordinazioni, di volume di vendite o di percentuali di soddisfazione dei clienti. Eppure gli studiosi del mondo aziendale ci insegnano che questi obiettivi “quantificabili”, “oggettivi” non racchiudono mai il successo di un'impresa, la sua buona saluta e crescita, la capacità di cogliere le sfide ed evolversi.

Purtroppo il mondo scolastico, in Italia e all'estero, è afflitto da obiettivi da compilare in documenti di programmazione. Nel punto 2 abbiamo ricordato che programmare e condurre la classe richiede una visione irriducibile a tale genere di obiettivi. Comunque, sulla base di una conoscenza del paesaggio della matematica elementare e di ciò che significa un insegnamento dinamico della matematica, non sarà difficile per l'insegnante elaborare una lista di obiettivi di buon senso o interpretare con saggezza gli obiettivi prestabiliti dalle équipe di insegnanti della propria scuola.

mercoledì 14 settembre 2016

Si parla del nuovo libro Numeri e Forme a RadioTre Scienza



Una intervista a Radio3Scienza, che può essere riascoltata in streaming, negli ultimi dieci minuti della trasmissione, qui
(intervista di Paolo Conte, 8/9/2016)


domenica 28 agosto 2016

Un nuovo libro per gli insegnanti della scuola primaria

NUMERI E FORME. DIDATTICA DELLA MATEMATICA CON I BAMBINI

Insegnare e apprendere bene la matematica,
incoraggiando la naturale propensione dei più piccoli per i numeri e le forme,
creando fin da subito un ambiente sereno e allegro, senza paure e senso di inadeguatezza
I primi passi, la scuola dell'infanzia, la scuola primaria
Il valore di apprendere matematica, il modo di affrontare le difficoltà, i molti strumenti e conoscenze di cui oggi disponiamo


Trovate qui l'introduzione e l'indice completo dei capitoli
Qui un'intervista sul libro di Fulvia Subania 

martedì 23 agosto 2016

La matematica in movimento: una bimba di 3 anni e 2 mesi



Ripetere, allineare, centrare, contare.

Nelle iniziative spontanee dei bambini, si mescola il lavoro-ritmo, l'opera, l'azione, sullo scenario di un mondo che è stato fatto e nel quale essi entrano  (seguendo la terminologia di Hannah Arendt, Vita activa, 1958). Osservando i bambini molto piccoli si trovano indizi illuminanti sul modo in cui l'aritmetica e la geometria possono trovare uno spazio nel loro universo e nel loro sentire; prima dobbiamo aprirci verso di loro, ma ciò sarà illuminante se abbiamo meditato la condizione umana, ad esempio leggendo Arendt.

domenica 22 maggio 2016

MATHEMATICS AND ECONOMICS IN HISTORICAL PERSPECTIVE: A SESSION IN MEMORY OF PROF. GIORGIO ISRAEL


The European Society for the History of Economic Thought — XXe Congrès — Paris 26-28 Mai 2016

Saturday, May 28, 2016, 13:45-15:15
Université Panthéon-Sorbonne
Special Session 9 – Mathematics and economics in historical perspective: demography, general equilibrium, uncertainty.
A session in memory of Prof. Giorgio Israel


Room 11
Chair Bruna Ingrao

Ivan Boldyrev
Steering the Invisible Hand: Normativity and Self-Implementing Technologies in Postwar General Equilibrium Theory
Nicola Giocoli Discussant

Luca Dell’Aglio
Some aspects of E.-E. Duvillard’s work in mathematical demography
Eric Brian Discussant

Eric Brian
Inequality, chance, and fairness
Bruna Ingrao Discussant

lunedì 2 maggio 2016

Matematica senza scrivere e con buon umore

Laura Overdeck e suo marito – lo racconta nel libro La matematica della buona notte – hanno cominciato a contare gli animali di peluche con la figlia primogenita quando aveva 2 anni. Poi, prima di dormire, proponevano alla bambina indovinelli matematici, per pensare e sorridere aiutandosi anche con le dita: Se il tuo camaleonte ha due occhi rotanti, due buffa corna e una lingua lunghissima, quante parti del corpo strane ha? Se sull'autopompa dei pompieri c'è un tubo che entra nel camion e altri 4 che escono dalla pompa, quanti tubi ci sono in tutto? La piccola si è appassionata, il fratello pure, e il terzogenito aveva appena due anni quando un giorno si è messo a strillare che voleva un problema di matematica! Quindi, come le fiabe, anche la matematica può essere piacevole prima di addormentarsi.
Questo libro suggerisce ai genitori e anche agli insegnanti come "parlare di matematica”, qualcosa che ha un ruolo cruciale nell'approccio ingenuo dei bambini piccoli ai numeri e alle forme. I numeri entrano nel gioco con i loro nomi, prima e insieme ai simboli scritti (le cifre), e così si possono fare le operazioni senza il +, il – e l'=
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Il successo del libro, tradotto in Italia da Vallardi, ha portato alla pubblicazione di una intera serie di libri, tutti illustrati da Jim Palliot. Ciò che li contraddistingue è il buon umore ...
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Potete anche curiosare nel sito www.bedtimemath.org

sabato 10 ottobre 2015

Un buon inizio: compiti a casa all'inizio della classe prima


La possibilità stessa della misura e del conteggio poggia sulla ripetizione all’infinito di strutture o specie simili, di cui la mente umana ne riconosce l’identità, e sul fatto che lo spazio o il tempo ci appaiono come essenzialmente omogenei. Si esprime così l’unità profonda di ciò che è


Laurent Lafforgue, L’importanza del calcolo e della geometria nella scuola primaria (2010)



venerdì 29 maggio 2015

Saluti ad ALDO BRIGAGLIA in occasione della Giornata in suo onore per il suo pensionamento

Ritornando con la mente al periodo in cui ho conosciuto Aldo Brigaglia, dimentico per un attimo gli anni, tanti, che ho trascorso in questo paese di cui ho avuto anche la nazionalità e mi colloco di nuovo dalla prospettiva di una giovane ricercatrice spagnola. Leggere i lavori di Aldo, ascoltarlo e seguire le sue attività ha significato per me entrare in contatto con una tradizione culturale che capivo risalire agli autori che egli stesso ha studiato, a Cremona, a Enriques, a Castelnuovo, con la loro visione ideale della scienza, profondamente umanistica, e il loro amore per le giovani generazioni e per il susseguirsi armonico delle generazioni nel ricevere e costruire un patrimonio comune. Ai miei occhi Aldo stesso rappresentava questo ideale condiviso. In quegli anni mi occupavo del lavoro geometrico di Rey Pastor e nel comprendere la scuola italiana di geometria algebrica attraverso i suoi lavori ho trovato una fondamentale chiave di interpretazione; ma mi sembrava di seguire i passi dello stesso Rey Pastor e tanti giovani matematici spagnoli in Italia e potevo immaginare l'impatto – agli inizi del Novecento – di un modo cordiale e accogliente e nel contempo l'ammirazione per l'intelligenza, la visione acuta e l'amore per la scienza e anche per l'insegnamento della scienza.
            Vi sono un episodio e poi una circostanza più generale che mi ritornano in mente e che vorrei condividere con voi e con Aldo. Il prim, riguarda l'articolo pubblicato da Aldo (in collaborazione con Simonetta di Sieno) sulla rivista dell'UMI sul profilo politico e culturale di Cremona. Mi arrivò per posta la prima parte e ricordo di averlo letto con grande interesse nel treno di ritorno a casa, e a un certo punto sono arrivata a una citazione di una lettera di Cremona a un collega francese, piena dell'atmosfera risorgimentale, che corrispondeva chiaramente alla risposta del collega francese che si conserva a Roma nella Biblioteca Castelnuovo e che avevo citato in un articolo che avevo in bozze (poi uscito su Science in context): arrivata a casa invece di occuparmi dei figli mi sono precipitata a inserire un riferimento nel mio articolo. Ho avuto il senso di gratitudine per aver avuto occasione di partecipare in questi anni a un lavoro collettivo messo in piedi in anni che Giorgio ricorda nel suo intervento.
            La circostanza più generale riguarda il lavoro a Scienze della Formazione Primaria. E' un impegno al quale credo profondamente e che ho condiviso con Aldo, trovando molto sostegno nelle cose che Aldo ha scritto e fatto, che sento espressione dei grandi insegnamenti di Federigo Enriques. Credo in un impegno intellettuale che agisce sulla realtà senza specialismi e senza arroccarsi in torri di avorio, proprio come ho visto sempre in Aldo in questi anni.
            Aldo, dopo un po' di riposo e con meno burocrazia aspettiamo di leggere e ascoltare i tuoi nuovi contributi.
Grazie, e un abbraccio

Ana Millán Gasca
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È con emozione che scrivo queste righe in onore di Aldo Brigaglia. Essendo quasi coetanei e pensionati quasi simultaneamente, questa circostanza mi rinvia a lontani ricordi di quasi quaranta anni fa e a una sostanziale comunanza di vedute che ci ha avvicinato nel tempo e che era una motivazione condivisa, sia pure nata su territori diversi.
Provo a definire questa motivazione. Sia Aldo che io, e molti altri abbiamo scoperto e nutrito l’interesse per la storia della matematica – la disciplina entro cui ci eravamo formati come giovani laureati e ricercatori – non per un interesse esclusivamente tecnico, ovvero costruire storie rigorose di un problema specifico, di un teorema, della genesi di una teoria. Naturalmente, questo aspetto non era ignorato: di che parlare trascurandolo? E infatti il nostro percorso ha visto una crescita continua di rigore, di interesse a elucidare gli aspetti tecnici, uno sforzo di penetrazione di tutti gli aspetti di una teoria studiata. Penso ai contributi sempre più importanti, precisi e sostenuti da una profonda conoscenza che Aldo ha dato alla storia della geometria algebrica italiana.
Ma c’era qualcosa di molto più profondo che veniva dalle motivazioni iniziali. Oggi, Aldo penso che non riscriverebbe tal quale Il Circolo Matematico di Palermo (come non lo farei io per diversi miei scritti sulla storia della matematica italiana), ma è là la radice di una visione del ruolo della storia della matematica (e della storia della scienza, in generale) che penso non ci abbia mai abbandonato, e anzi ci abbia accompagnato fedelmente. Quale era tale visione? In sintesi, che la storia poteva assumere – anzi era il principale strumento che poteva assumere – il ruolo di difendere una visione umanistica e culturale della scienza e della matematica, che non la sconnettesse dal resto della conoscenza come una mera disciplina tecnica. In ciò vi era anche lo sforzo di rivivificare una tradizione che era stata rappresentata in modo così brillante in Italia da Federigo Enriques, o che è bene espressa dall’aforisma di Henri Poincarè, secondo cui «per prevedere il futuro della matematica occorre conoscerne la storia e lo stato presente». Aldo ha anche creduto fortemente nel ruolo della storia nell’insegnamento scolastico oltre che universitario e si è impegnato validamente su questo fronte fino all’ultimo.
Come valutare il successo di questo programma che ha mosso le intenzioni di tanti di noi coetanei, magari in certi casi sotterraneamente ma con grande fedeltà e attaccamento a una visione che definivo umanistica e culturale? In molti casi, positivamente. Nel caso di Aldo, in modo brillante e profondo. I suoi contributi alla storia della matematica italiana, e delle scuole geometriche e algebriche in particolare, oltre che quelli di natura sociologica e didattica, restano come quei capisaldi che permettono di parlare di crescita della conoscenza.
Purtroppo, temo che sul piano generale la promozione di una visione come quella che penso ci abbia sempre ispirato, non ha ottenuto gli effetti sperati. La comunità degli storici della matematica non si è espansa, non è stato possibile formare un consistente gruppo di giovani che prendesse la staffetta, salvo ovviamente casi isolati. Nella comunità dei ricercatori matematici propriamente detti la storia è stata vista con sufficienza e disinteresse, come una disciplina minore e, da parte degli storici, il rispondere tecnicizzando sempre di più i propri contributi è stato casomai controproducente. È indubbio che una piccola comunità esposta a un clima in cui le circolari ministeriali insistono sempre più sull’idea disastrosa che la matematica è nient’altro che problem solving si trova in gran difficoltà. È altresì vero che la mancanza di coraggio e il richiudersi in sé stessi non paga mai.
Ma se sentivo necessario, per sincerità, rilevare questi aspetti negativi, non è certamente mia intenzione chiudere con una nota malinconica. E anche questo lo dico in piena sincerità. Verrei meno a quell’ideale umanistico che penso unisca profondamente me e Aldo se non avessi la profonda convinzione nella forza delle idee. I buoni semi possono restare chiusi per tanto tempo ma prima o poi poi germinano anche sull’asfalto.
Penso che quel che ha fatto Aldo per la matematica, la scienza e la cultura sia di per sé un contributo di grandissimo valore, ma anche un sacchetto di semi che germinerà e fruttificherà presto su nuovi terreni. A lui un abbraccio e la richiesta di riempire ancora nei prossimi anni il sacchetto con tanti bei contributi.
Giorgio Israel